數字華容道怎麼解：3x3、4x4、5x5逐步教學

要解開數字華容道，先完成最上面一列，再完成它下面一列，一直做到只剩兩列；這兩列從左到右一欄一欄完成，最後剩下的2×2小方塊，只要讓空格繞著它轉圈，就會自己歸位。你唯一需要的技巧，是用在每一列和每一欄的最後兩塊：它們要疊成一對一起放進去，而不是一塊一塊放。

整個方法就這樣，3×3、4×4和5×5都通用。下面會一步一步說清楚，也會講到判斷棋盤到底有沒有解的奇偶性檢查，以及Klotski和汽車逃脫謎題需要的另一套方法，因為這類謎題的棋子大小不一。想找個棋盤練手，來這裡玩一局：我們的免費Sliding Puzzle在瀏覽器就能玩，有3x3、4x4和5x5三種尺寸，每次洗牌都保證有解。

規則：一個空格，而一半的打亂方式無解

滑塊拼圖是一個方框，裡面擺滿有數字的方塊，只缺一格。任何緊鄰空格的方塊都能滑進去，目標是讓方塊從左到右、從上到下照順序排好，空格留在右下角。3×3版本叫8-puzzle，4×4叫15 puzzle（也就是最常見的數字華容道），5×5叫24 puzzle，名字來自裡面的方塊數量。

把方塊撬出來再隨手裝回去，你能排出的所有排列裡，剛好有一半永遠解不開。滑動永遠不會改變一個隱藏的量，叫作奇偶性，用一支鉛筆就能檢查。從左到右、從上到下讀出方塊上的數字，跳過空格，數一數有幾對是大數排在小數前面。每一對這樣的數字，就是一個逆序對。

• 奇數寬度（3×3、5×5）：逆序對的數量是偶數時，拼圖才有解，而且一定有解。
• 偶數寬度（4×4）：再加上空格所在的列數，列從上往下數，第1列到第4列。這個總數是偶數時，拼圖才有解，而且一定有解。（如果改成從下往上數，總數就要是奇數。同一條規則，只是倒過來看。）

來看一個3×3的例子。棋盤是1 3 _ / 4 2 5 / 7 8 6，空格在右上角。依序讀出來是1、3、4、2、5、7、8、6。逆序對有：3在2前面、4在2前面、7在6前面、8在6前面，一共四個，是偶數，所以有解。四步就能解開：3往右滑、2往上滑、5往左滑、6往上滑。現在換一個已經完成的棋盤，把7和8對調。這是一個逆序對，奇數，不管怎麼滑都修不好。

正是這個陷阱的4×4版本，讓15 puzzle一夕成名。1880年，它在美國掀起一股熱潮，謎題作家Sam Loyd後來聲稱自己曾提供1,000美元獎金，懸賞能把14和15對調過的已完成棋盤復原的人。一個逆序對，加上空格在第4列，總數是5：奇數，所以不可能。這筆獎金從來沒有被領走的風險。任何像樣的電子版拼圖，都是從已完成的棋盤出發、用合法移動來打亂的，所以你螢幕上那一局一定有解。被兄弟姊妹撬開過的實體拼圖，就很難說了。

3×3（8-puzzle）分四個階段解開

列從上往下編號，欄從左往右編號。「鎖住」的意思是：從此以後，空格再也不經過這些格子。

1. 1號方塊歸位。讓空格繞一繞，把1帶到左上角。鎖住。
2. 2號和3號疊成一對。把2放在右上角（那是3的位置，不是2自己的），3放在它正下方，也就是第2列第3欄。經由第2列把空格移到最上面一列的中間格，絕對不要穿過角落。先把2往左滑，再把3往上滑。第一列完成，鎖住。
3. 4號和7號疊成一對，橫著放。把7放在4的位置（第2列第1欄），4緊貼在它右邊，也就是正中間。沿著最下面一列把空格移到左下角。先把7往下滑，再把4往左滑。左邊一欄完成，鎖住。
4. 5、6、8號：轉圈。剩下的是一個2×2的小方塊，裡面有三塊方塊和一個空格。讓空格朝同一個方向繞著它轉，三塊方塊會跟著輪轉，直到歸位。方向對的話，最多不會超過六步；如果轉了一圈毫無進展，就換個方向。

為什麼要疊對：如果先把2放回原位，3要進角落的唯一路線就得穿過2的位置，所以放3就會把2擠出去。先疊好再轉，兩步就能讓兩塊同時歸位。大多數人都要把一塊一塊放的方法試好幾遍，才肯相信這件事。我們試的次數比大多數人都多。

4×4（15 puzzle）：兩列、兩欄，最後轉圈

15 puzzle的思路跟上面一樣，只是多一個階段。先一列一列解第1列（1到4號）和第2列（5到8號），再一欄一欄解最下面兩列：先9和13，再10和14，最後在剩下的2×2裡把11、12和15轉回原位。每一列的前兩塊都很簡單，一塊一塊走回去就好。只有最後一對需要技巧。

一列的最後兩塊，一步一步來

下面以第1列為例，1號和2號已經歸位並鎖住。

1. 先把4號移開。如果4在第1列或第2列，把它移到第3列或更下面。這樣它就不會在第2步時溜進錯的格子。
2. 把3號放到右上角（第1列第4欄），那是4的位置，不是3的。
3. 把4號帶到它正下方的格子（第2列第4欄），只移動第2到第4列的方塊，讓3留在角落。
4. 把空格移到第2列第3欄，就在4號旁邊，一樣不碰第1列。然後把第1列第3欄的方塊往下滑進空格。現在空格就在3的位置，3在它右邊，4在3下面。
5. 3往左滑，4往上滑。第1列完成，鎖住。

第2列也一樣：5和6一塊一塊放進去，然後把7放到第2列第4欄，8放在它下面的第3列第4欄，空格移到第2列第3欄，再用同樣的兩步：7往左，8往上。

最下面兩列，一次解一欄

第1列和第2列鎖住之後，還剩兩列，每列四格：9、10、11、12在上，13、14、15和空格在下。這裡不能再一列一列解，因為沒有多出來的列可以暫放方塊，所以要改成一欄一欄往右推進，用的還是同一個疊對技巧，只是橫過來。

1. 第1欄（9號和13號）。把13放在9的位置（第3列第1欄），9緊貼在它右邊（第3列第2欄）。沿著第4列把空格移到第4列第1欄。先把13往下滑，再把9往左滑。鎖住這一欄。
2. 第2欄（10號和14號）。往右移一欄再做一次：14放在第3列第2欄，10放在第3列第3欄，空格移到第4列第2欄。14往下滑，10往左滑。鎖住。
3. 最後的2×2（11、12和15號）。讓空格繞著這個小方塊轉，直到三塊全部歸位，跟3×3的做法完全一樣。只要洗牌是合法的，它們一定會歸位。

這個方法很可靠，但不算短。電腦搜尋最短路線時，任何一局15 puzzle都不會超過80步單格移動，而需要整整80步的局面只有17個。一列一列解要走的步數比這多，但你可以一路做下去不用停下來想，對人來說，這比步數重要得多。

5×5（24 puzzle）就是多一列一欄的4×4

每個更大的棋盤，都能剝成比它小一號的棋盤。在5×5上，先解第1列（1到5號，4和5疊成一對），再解它下面的左邊一欄（6、11、16和21號，16和21橫著疊成一對：21放在16的位置，16緊貼在它右邊，空格在下方，然後21往下滑、16往左滑）。兩者都鎖住後，剩下的就是由7到10號、12到15號、17到20號和22到24號組成的一個4×4。照上面的方法解它就好，只是要把這些數字當成位置來讀，而不是1到15。

你也可以一路一列一列解到第3列，再把最下面兩列一欄一欄解完；兩條路線最後都會落在同一個2×2轉圈。5×5大約有7.76×10²⁴種可達的排列，至今還沒有人確定其中最難的一種到底需要幾步。我們能找到最新的界限來自2016年，認為落在152到205步單格移動之間。

Klotski和汽車逃脫謎題需要另一套方法

一列一列解，只在所有棋子大小相同時才有用。Klotski以及它所屬的整個滑塊謎題家族，混合了不同形狀的棋子，而且根本沒有哪一列要完成，因為沒有一塊棋子有編了號的「家」。真正重要的只有一塊：你想讓它逃出去的那一塊。

Klotski的經典開局是一個4×5的盤子，裡面有十塊棋子：一個2×2的大方塊在上方正中間，下面橫躺著一個2×1的長塊，再下面是兩個1×1的小方塊，兩側各有兩個直立的1×2長塊，最底下各有一個1×1的小方塊。兩個空格靠在一起，位在底部正中間。目標是把2×2的大方塊移到底部正中間，再從框上的缺口出去。在中國，同一道謎題叫作華容道，大方塊就是正在逃命的曹操。幾塊木頭，戲份還真不少。

1. 先規劃目標棋子的路線。在動任何東西之前，一格一格描出大方塊（或要逃出去的車）通往出口的路徑。
2. 從出口往回推。看路徑上的下一步：哪裡必須空出來、哪塊棋子擋著、這塊棋子能移到哪裡。然後對擋著它的那塊棋子問同樣的問題。這條鏈才是真正的謎題。
3. 在Klotski裡，讓兩個空格待在一起。直立的1×2長塊只能橫向移進兩個上下相疊的空格，橫躺的2×1長塊要上下移動則需要兩個並排的空格，大方塊永遠需要兩個空格。把空格拆開，就會困住一半的棋子。
4. 用移動的棋子算步數，而不是用格數。在Klotski裡，一塊棋子滑到它能到的任何位置都算一步，照這個算法，經典開局至少需要81步。「把這一塊推到左邊牆」這種計畫，比一串單格移動更容易記在腦子裡。

汽車滑塊謎題，也就是Rush Hour家族，又多了一條規則：每輛車都鎖定在自己的車道上，所以橫停的車只能左右走。這讓往回推的鏈更好用，因為每輛擋路車最後能停的地方只有那幾個。一旦想通這點，接下來要練的就是減少步數，那是另一門功夫，請看停車解謎提速指南。

3x3、4x4、5x5和Klotski一覽

讓棋盤解不開的常見錯誤

• 把一列的最後兩塊一塊一塊放。第二塊一定會把第一塊擠出去。疊起來再轉。
• 讓空格溜回已經完成的列。每回去一趟都會毀掉之前的成果。如果某條路線非得這樣走，就換一條。
• 把最下面兩列當成列來解。根本沒地方暫放方塊。只剩兩列時，改成一欄一欄解。
• 把最後的2×2當成三塊各自獨立的方塊。它就是一次轉圈。轉下去，如果第一圈毫無變化，就換個方向。
• 算錯奇偶性。不要把空格算成方塊；在4×4上，別忘了加上空格所在的列數。
• 在Klotski裡把兩個空格拆開。較大的棋子需要兩個並排的空格才能動。

去哪裡線上玩數字華容道：先玩我們的免費15 puzzle，再玩Car Parking

練上面這套方法的棋盤，就是我們自己的Sliding Puzzle，在瀏覽器裡免費玩，免下載、免註冊。可以選3×3、4×4或5×5，數字方塊或搶案主題圖片都行，每次洗牌在你看到之前都會檢查奇偶性，所以你永遠不會碰上無解的那一半。復原次數不限，遊戲也會為每種尺寸記錄你的最少步數和最快時間。它的限制：這些紀錄存在你的瀏覽器裡，清除網站資料或用無痕視窗玩，紀錄就會消失。

Klotski和Rush Hour這一支，可以試試Car Parking：一個6×6的停車場、一輛被車陣團團圍住的金色小車，每輛車都鎖定在自己的車道上。一輛車換個地方停好就算一步，不管它滑了多遠；240關的每一關都會顯示標準步數，那是我們的求解器找到的最短解法，每關還有三次提示。它練的是從出口往回推，而不是一列一列還原。Getaway Garage每滑一下就讓所有車輛一起動，並消除三輛一組的同色車，又是另一種謎題；如果你想聽背後的故事，我們的塞車解謎簡史就是從15 puzzle熱潮講起。

判斷規則很簡單。如果所有棋子大小相同，就從上往下完成每一列，剩兩列時改成一欄一欄，最後轉動那個小方塊。如果棋子大小不一，就挑出那塊必須逃出去的棋子，從出口往回規劃。第一種去4×4 Sliding Puzzle試，第二種去Car Parking試，兩個都能在瀏覽器裡免費玩。